Исследование периодичности
последовательностей nn  и по модулю 10

СОКОЛОВА АННА АЛЕКСАНДРОВНА
Научный руководитель: Младова Ирина Александровна
Россия, Мурманская область, г. Кандалакша,
МАОУ «Средняя общеобразовательная школа № 10», 10 класс

А н н о т а ц и я
В 1965 году на XXVIII Московской математической олимпиаде для XI класса была предложена задача: «Доказать, что последние цифры чисел nn (n – натуральное число) образуют периодическую последовательность». Полезно не только доказать периодичность,  но и найти наименьший период.
Мы задумались, будет ли периодичной последовательность последних цифр чисел ?
Данная исследовательская работа является попыткой продолжить исследования в области модульной арифметики над степенными последовательностями.
Цель: исследовать закономерности и периоды последовательностей nn и  по модулю 10, рассмотреть графическую интерпретацию этих свойств. 
Задачи:
1.	изучить учебную, справочную литературу по заявленной теме;
2.	исследовать последовательности nn и  по модулю 10 с помощью табличных данных и графической интерпретации; 
3.	доказать, что последовательности nn и  по модулю 10 периодичны;
4.	найти наименьшие периоды этих последовательностей;
5.	найти закономерности для определения наименьшего периода;
6.	проанализировать закономерности последовательностей nn и  по модулю 10;
7.	доказать обнаруженные свойства;
8.	изучить возможность применения найденных свойств при решении задач.
Гипотеза: последовательности nn и  по модулю 10 периодичны.
Методы исследования – изучение литературы, обобщение и систематизация найденных сведений, выявление аналогий, исследование периодичности: последовательности nn и  по модулю 10, проведение сравнительного анализа.
Представленная исследовательская работа имеет две части: в первой части проводится исследование и анализируются периоды последовательностей последних цифр чисел вида nn и , определяются закономерности, во второй части – доказываются найденные свойства и выполняется графическая интерпретация числовых последовательностей. 
Полученные результаты данной исследовательской работы подтверждают гипотезу, период равен 20. Решена задача XXVIII Московской математической олимпиады для XI класса (1965 года) о периодичности последних цифр последовательности nn и выполнено её обобщение для последовательности .
Авторские доказательства обнаруженных свойств разобраны в работе полностью.  
Актуальность рассматриваемой темы вытекает из того факта, что многие задачи на делимость целых чисел могут быть решены с помощью выявленных закономерностей. Операции по модулю являются основой современной теории криптографии.