Элементы комбинаторики
в школьном курсе геометрии и информатики

Красовская Александра,
Научный руководитель: Младова Ирина Александровна
СОШ №10 г. Кандалакша
Аннотация
Школьные задачи обычно специально подобраны и решаются заранее рассмотренными методами, получается один определенный ответ. На олимпиадах подбирают задачи, которые имеют неожиданное, но простое и красивое решение. Иногда мы сталкиваемся с задачами, которые, то не имеют решений, то имеют много решений и требуют непривычных методов решения, разбор всех возможных вариантов. Найти все ответы и доказать, что других нет, – это и значит решить задачу. Оказаться ответов может сколько угодно: один, несколько, ни одного или бесконечно много. Задания подобного типа являются комбинаторными.
Изучение комбинаторики необходимо для решения многих практических задач современной жизни. В настоящее время традиционные математические соревнования включают задачи по геометрии и задания комбинаторного типа. Элементы логики и комбинаторики вводятся в школьный курс математики. 
В работе исследованы школьные учебники по геометрии и информатике на наличие задач комбинаторного типа. Это исследование было посвящено новому подходу к изучению геометрии и информатики: элементы комбинаторики в задачах школьных учебников. Рассмотрены задачи с точки зрения комбинаторного анализа (перебор всех возможных вариантов) и определено место таких задач среди общего объема заданий школьного курса. Исследовано содержание 4 учебников разных авторов по геометрии и информатике, определен количественный состав комбинаторных заданий, место таких задач на экзамене в форме ЕГЭ. Задания КИМ по математике подобных задач не содержали. Задания комбинаторного типа есть на экзамене по информатике (C3), хотя подобных заданий в учебниках информатики недостаточно.

Гипотезы: 
1)	процент количества заданий комбинаторного типа в разных учебниках геометрии примерно одинаковый, процент комбинаторных заданий не меняется по классам,
2)	задания комбинаторного типа присутствуют в учебниках информатики;
3)	задания комбинаторного типа присутствуют на экзамене в форме ЕГЭ по математике и информатике.
Объект исследования – учебники по геометрии, информатике и контрольные измерительные материалы (КИМ) выпускного экзамена в форме ЕГЭ. Исследование ведется в рамках геометрии и информатики. Предмет исследования – комбинаторика.  Задачи комбинаторного типа подлежат непосредственному изучению в данной работе.

Цели:
1)	сравнить содержание учебников геометрии, информатики по количеству задач комбинаторного типа;
2)	выявить среди экзаменационных задач комбинаторные;
3)	установить место комбинаторных задач среди всего объема заданий на экзамене по математике и информатике.
Задачи:
1)	выявить и классифицировать комбинаторные задачи в школьных учебниках;
2)	сравнить содержание учебников геометрии разных авторов по количеству комбинаторных заданий;
3)	сравнить содержание учебников информатики для разных классов по количеству комбинаторных заданий;
4)	выявить задания комбинаторного типа по математике и информатике на экзамене в форме ЕГЭ;
5)	определить стратегию решения заданий комбинаторного типа на едином государственном экзамене.
В работе рассмотрены некоторые комбинаторные задачи в школьных учебниках. Наибольшее количество задач появляется при начальном изучении планиметрии и стереометрии (7 и 10 класс). В различных темах встречаются комбинаторные задачи.
Больший процент комбинаторных заданий в учебнике [4], автор Атанасян Л.С. и др. «Геометрия 7-9». Сравнительный анализ показывает, что процент комбинаторных задач в учебниках геометрии приблизительно одинаковый. Однако в учебнике [5] таких заданий наименьшее количество, автор Атанасян Л.С. и др. «Геометрия 10-11». Средний показатель: 3,8% от общего количества задач в учебниках геометрии являются комбинаторными. Комбинаторных задач в рассмотренных учебниках информатики ([8], [9], [10]) практически нет.
На едином государственном экзамене по математике таких заданий пока нет, а на экзамене по информатике подобные задания присутствуют в части С. Одно из 32 заданий на экзамене по информатике – комбинаторного типа, это составляет 3% всей работы. Три балла из 40 первичных можно набрать, решая задание С3 – это 7%. Авторские решения заданий демонстрационных версий разобраны в данной работе полностью.
Гипотеза 1: процент количества заданий комбинаторного типа в разных учебниках примерно одинаковое, процент комбинаторных заданий не меняется по классам. 
Гипотеза о проценте количества заданий комбинаторного типа в разных учебниках (примерно одинаковое) была подтверждена, однако по классам процент количества заданий меняется.
Гипотеза 2: задания комбинаторного типа присутствуют в учебниках информатики;
Гипотеза о присутствии заданий в учебниках информатики не была подтверждена, подобных заданий в старших классах крайне мало (несколько примеров разобраны в параграфах), а с 7 по 9 класс их нет совсем. Комбинаторных задач в рассмотренных учебниках информатики практически нет.
Гипотеза 3: задания комбинаторного типа присутствуют на экзамене в форме ЕГЭ по математике и информатике.
Гипотеза о заданиях комбинаторного типа на едином государственном экзамене была подтверждена частично. На экзамене по математике таких заданий пока нет, а на экзамене по информатике подобные задания присутствуют в части С.  
Обобщая полученные данные, можно сделать вывод о том, что комбинаторных геометрических задач в школьном курсе немного (порядка 3,8%). Однако есть необходимость изучать данный класс задач более подробно, т.к. задания данного вида часто возникают на некоторых математических конкурсах (порядка 19%), олимпиадах, и, как правило, сама жизнь ставит перед человеком задачи именно комбинаторного типа. В работе представлены списки задач по темам.
Комбинаторных задач в школьном курсе информатики мало. Однако есть необходимость изучать данный класс задач более подробно, т.к. задания данного вида всегда присутствуют на едином государственном экзамене (1 из 32 задач – 3%, 3 балла из 40 возможных – 7%).
Данная работа будет полезна ученикам, интересующимся математикой и информатикой, заинтересует учителей. Подобранные задачи будут важны для углубленного изучения математики. Разобранные задачи будут полезны для подготовки к итоговой аттестации.
В данной работе рассмотрены комбинаторные задачи, проанализировано место таких заданий среди общего количества заданий. Получен вывод, что заданий комбинаторного типа немного в учебниках геометрии, но такие задачи встречаются в других науках (алгебре, информатике, химии, физике и др.) и на практике.
В учебниках по информатике заданий комбинаторного типа мало.
На ЕГЭ по математике подобных заданий нет.
На экзамене в форме ЕГЭ задания комбинаторного типа присутствуют, причем в части C (С3). Эти задачи подробно разобраны в этой работе.
Считаем, что поставленные цели достигнуты: 
1.	выявлены среди геометрических задач комбинаторные;
2.	установлено место комбинаторных задач среди всего объема заданий в школьных учебниках геометрии и информатики;
3.	проведен сравнительный анализ учебников, получены выводы;
4.	установлено место комбинаторных задач среди всего объема заданий на едином государственном экзамене по математике и информатике на основании демонстрационных материалов;
5.	разобраны экзаменационные комбинаторные задачи части C (С3) по информатике.
Работа может быть продолжена. Возможно, на экзамене в форме ЕГЭ по геометрии в конце этого учебного года уже появятся комбинаторные геометрические задачи.

Список используемой литературы

1.	Бычова Т.И., Эпштейн Л.А. Задачи математических олимпиад школьников Карелии. –  Петрозаводск, 1992
2.	Микиша А.М., Орлов В.Б. Толковый математический словарь. – Москва: Русский язык, 1989
3.	Энциклопедический словарь юного математика. Составитель А.П. Савин – Москва: Педагогика, 1985
4.	Атанасян Л.С. и др. Геометрия 7-9. – Москва: Просвещение, 2006
5.	Атанасян Л.С. и др. Геометрия 10-11. – Москва: Просвещение, 2006
6.	Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. – Москва: «Геометрия 8-9»
7.	Погорелов А.В. Геометрия 6-10. – Москва: Просвещение, 1988
8.	Угринович Н. Информатика 7. – Москва: Бином, 2007
9.	Угринович Н. Информатика 8. – Москва: Бином, 2007
10.	Угринович Н. Информатика и информационные технологии. – Москва: Бином, 2006
11.	Демонстрационные материалы КИМ по информатике и математике разных лет – www.fipi.ru