Subject: Степенные последовательности
Author: Соколова Анна Александровна
Last saved by: adm
Manager: Младова Ирина Александровна
Company: MAOУ СОШ №10

ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРИОДИЧНОСТИ
СУММЫ КВАДРАТОВ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ ПО МОДУЛЮ M

СОКОЛОВА АННА АЛЕКСАНДРОВНА
Научный руководитель: Младова Ирина Александровна
«Средняя общеобразовательная школа № 10» г. Кандалакша

Если плоскость разбить на клетки, то удобно рассмотреть множество точек (клеток) с целочисленными координатами. Каждая клетка может быть окрашена в некоторый цвет по заданному правилу. Функцией будет являться зависимость цвета точки от ее координат. Конечные одноцветные области определят некий узор.  Математические узоры на плоскости позволят продемонстрировать не только красоту науки, но и выявить интересные свойства числовых множеств. В данной работе исследуется периодичность таких узоров. Цвет точки определяется остатком от деления суммы квадратов координат на модуль m. Таким образом, одинаковые остатки от деления определяют на плоскости точки одного цвета, разные остатки определяют точки разных цветов. Использованы возможности языка программирования Pascal для создания графических моделей исследуемых закономерностей. Графическая интерпретация остатков позволила выявить некоторые свойства, которые в дальнейшем были доказаны. Данная работа является попыткой продолжить исследования в области модульной арифметики над степенными последовательностями.
Цель: исследовать закономерности и периоды суммы квадратов целых чисел по модулю m и рассмотреть графическую интерпретацию этих свойств. 
Задачи:
1.	изучить учебную, справочную литературу по заявленной теме;
2.	разработать программный модуль для организации исследования;
3.	исследовать суммы квадратов целых чисел по модулю m с помощью графической интерпретации программного модуля; 
4.	выявить закономерности для исследуемых числовых множеств:
5.	определить период в каждом рассмотренном случае:
6.	доказать, что для каждого случая период равен m;
7.	найти закономерности для определения наименьшего периода;
8.	проанализировать закономерности периодичности суммы квадратов;
9.	доказать обнаруженные свойства, выполнив обобщения найденных закономерностей;
10.	изучить возможность применения найденных свойств при решении задач.
Гипотеза: суммы квадратов по модулю m всегда имеют, но не всегда минимальный, период m; существуют некоторые закономерности внутри последовательностей..
Методы исследования – изучение литературы, обобщение и систематизация найденных сведений, разработка программного модуля для проведения исследования, сопоставление графической интерпретации делимости со свойствами рассматриваемых числовых множеств; выявление аналогий, исследование периодичности суммы квадратов целых чисел по модулю m, проведение сравнительного анализа.
Представленная исследовательская работа имеет две части: в первой части проводится исследование результатов работы программного модуля, анализируются периоды и определяются закономерности в периодичности математических узоров (суммы квадратов целых чисел по модулю m), во второй части – доказываются найденные свойства. 
Полученные результаты данной исследовательской работы подтверждают гипотезу: 
1)	период суммы квадратов целых чисел по модулю m равен m;
2)	период суммы квадратов целых чисел по модулю m равен m/2, если m кратно 4;
3)	минимальный период суммы квадратов целых чисел по модулю m равен m, если m не кратно 4 и m/2, если m кратно 4;
4)	последовательность внутри минимального периода за исключением первого остатка (от 1 до m-1, кроме 0) будет делиться на две части с противоположным порядком следования чисел – таким образом, математический узор симметричен относительно прямых x=(m-1)/2, y=(m-1)/2 и центра узора ((m-1)/2;(m-1)/2).
Авторские доказательства обнаруженных свойств разобраны в работе полностью. 
Актуальность рассматриваемой темы вытекает из того факта, что многие задачи на делимость целых чисел могут быть решены с помощью выявленных закономерностей.